Wat is de thermische gemiddelde aantal fotonen in de holte ? Dat is, wat is de verwachtingswaarde van de parameter s ? Bedenk dat de partitie functie wordt gegeven door (9,4) Dan is de verwachtingswaarde van de s wil (9,5) Dit is de Planck verdelingsfunctie van de thermische gemiddelde aantal fotonen in een enkele frequentie mode. Equivalente wijze is het gemiddelde aantal fononen in die modus. Zoals we zullen zien, een fonon is de hoogte van de energie van een elastische golf die zich door een vaste stof. Met behulp van (9.5), kunnen we de totale in de holte van energie te bepalen . Per definitie is de totale energie is de som van de energie die in elke modus, dus waarbij de som is meer dan n x, n y en n z. Neem aan dat de temperatuur groot in vergelijking met de verandering in w NSO dat we de optelling mogen vervangen door een integrale. Dan wordt de integrale (9,6) hier dn = dn x dn y dn z en de factor 1/8 voort uit het feit dat we alleen integreren via positieve octant van de parameterruimte. Nu, een gevolg van is dat er twee onafhankelijke polarisatierichtingen. Zo moeten we vermenigvuldigen (9.6) door twee. Met behulp van (9.3) te vervangen w n, eindelijk krijgen we Laat. Dan wordt de integrale Deze integraal kan worden opgezocht in een tabel. Het is te vinden op p 15/04. Dit leidt tot het uiteindelijke resultaat (9,7) waarbij V = L 3. Dit resultaat is van Stefan-Boltzmann straling genoemd. Hieruit blijkt dat de totale energiedichtheid van een zwart lichaam evenredig met de vierde macht van de temperatuur. Deze wet is van immense gebruik in astrofysica, zoals we in staat zijn om te meten of het bepalen van de energiedichtheid van een ster, en dus kunnen we het equivalent zwarte lichaamstemperatuur te bepalen. De meeste van de tijd dat we geïnteresseerd zijn in de energie per volume-eenheid per eenheid frequentiebereik. Dit heet de spectrale dichtheid van de straling, en wordt aangeduid u w. Vanaf Wij kunnen een relatie voor de u w ontlenen. Bedenk dat w n = n p c Twitter / L , dus in termen van w dit getal wordt zodat (9,8) Dit staat bekend als de Planck straling wet. Het geeft de frequentieverdeling van warmtes Thermal Energy
Gibbs verdeling van thermische Physics Lecture Notes